just_me_oana
Moderator
 Din: maybe from heaven...or hell?
Inregistrat: acum 16 ani
Postari: 236
|
|
Egiptul a fost probabil prima civilizatie în care interesul pentru stiinte a fost major. Au excelat în medicina si matematici aplicate, dar si în astronomie, mecanica, chimie, fizica, administratie. Chiar numele de chimie provine de la alchimie, vechiul nume al Egiptului. Civilizatia Egiptului Antic a atins un înalt nivel înca din cele mai vechi timpuri. Datorita Nilului si climei, Egiptul avea tot ce-i necesar dezvoltarii unei civilizatii înfloritoare. Egiptul era si usor de aparat având o lunga granita cu desertul Sahara, asa ca s beneficiat de perioade lungi de pace, perioade în care societatea s-a dezvoltat rapid.
Cu 3.000 de ani î.C., în Egipt era dezvoltata puternic agricultura pe baza inundatiilor bianuale ale Nilului. Apa revarsata aducea aluviuni care îmbogateau solul; surplusul de apa era dirijat printr-un sistem complicat de canale si ecluze, astfel ca ea sa fie folosita si în perioadele secetoase. Construirea si întretinerea unui astfel de sistem de irigatii a necesitat importante cunostinte de geometrie, mecanica, hidraulica. Cunoasterea cu precizie a perioadelor din an în care se produceau inundatiile era de maxima importanta. Problema a fost rezolvata de cunostintele avansate de astronomie care le-a permis realizarea unui calendar foarte precis. Teritoriul pe care se întindea Egiptul fiind vast, era nevoie de un sistem administrativ eficient. Pentru calcularea taxelor si repartizarea sumelor colectate pentru constructii, armata s.a. era nevoie de cunostinte de aritmetica. Din 3.000 î.C. a început constructia piramidelor; astfel marea piramida de la Ghiza a fost construita prin 2.650 î.C. Constructia piramidelor necesita vaste cunostinte si imense resurse materiale.
În acea perioada, Egiptenii aveau pus la punct sistemul de scriere hieroglific. Sistemul de numeratie folosit nu era foarte bun pentru realizarea calculelor aritmetice. Operatiile aritmetice, asa cum le cunoastem azi, erau foarte greu de realizat: adunarea si scaderea se puteau efectua relativ usor; înmultirea si împartirea erau de-a dreptul imposibile. Totusi, egiptenii au dezvoltat metode remarcabile pentru a trece peste acest neajuns.
La început, numerele erau sculptate în piatra pentru a comunica diferite marimi. Deoarece nu era nevoie sa se opereze mult cu ele, pentru cifre nu existau hieroglife speciale. Din momentul în care s-a trecut la utilizarea papirusului pentru scriere, a aparut necesitatea dezvoltarii unor mijloace mai rapide de scriere, a aparut necesitatea crearii unor hieroglife pentru scrierea numerelor.
Papirusurile descoperite arata ca egiptenii, spre deosebire de greci care s-au preocupat de studiul matematicii abstracte, erau legati de rezolvarea unor probleme de aritmetica legate exclusiv de practica.
Egiptul a fost probabil prima civilizatie in care interesul pentru stiinte a fost major. Au excelat in medicina si matematici aplicate, dar si in astronomie, mecanica, chimie, fizica, administratie. Chiar numele de chimie provine de la alchimie, vechiul nume al Egiptului. Civilizatia Egiptului Antic a atins un inalt nivel inca din cele mai vechi timpuri. Datorita Nilului si climei, Egiptul avea tot ce-i necesar dezvoltarii unei civilizatii infloritoare. Egiptul era si usor de aparat avand o lunga granita cu desertul Sahara, asa ca s beneficiat de perioade lungi de pace, perioade in care societatea s-a dezvoltat rapid. m8j21jj
Cu 3.000 de ani i.C., in Egipt era dezvoltata puternic agricultura pe baza inundatiilor bianuale ale Nilului. Apa revarsata aducea aluviuni care imbogateau solul; surplusul de apa era dirijat printr-un sistem complicat de canale si ecluze, astfel ca ea sa fie folosita si in perioadele secetoase. Construirea si intretinerea unui astfel de sistem de irigatii a necesitat importante cunostinte de geometrie, mecanica, hidraulica. Cunoasterea cu precizie a perioadelor din an in care se produceau inundatiile era de maxima importanta. Problema a fost rezolvata de cunostintele avansate de astronomie care le-a permis realizarea unui calendar foarte precis. Teritoriul pe care se intindea Egiptul fiind vast, era nevoie de un sistem administrativ eficient. Pentru calcularea taxelor si repartizarea sumelor colectate pentru constructii, armata s.a. era nevoie de cunostinte de aritmetica. Din 3.000 i.C. a inceput constructia piramidelor; astfel marea piramida de la Ghiza a fost construita prin 2.650 i.C. Constructia piramidelor necesita vaste cunostinte si imense resurse materiale.
In acea perioada, Egiptenii aveau pus la punct sistemul de scriere hieroglific. Sistemul de numeratie folosit nu era foarte bun pentru realizarea calculelor aritmetice. Operatiile aritmetice, asa cum le cunoastem azi, erau foarte greu de realizat: adunarea si scaderea se puteau efectua relativ usor; inmultirea si impartirea erau de-a dreptul imposibile. Totusi, egiptenii au dezvoltat metode remarcabile pentru a trece peste acest neajuns.
La inceput, numerele erau sculptate in piatra pentru a comunica diferite marimi. Deoarece nu era nevoie sa se opereze mult cu ele, pentru cifre nu existau hieroglife speciale. Din momentul in care s-a trecut la utilizarea papirusului pentru scriere, a aparut necesitatea dezvoltarii unor mijloace mai rapide de scriere, a aparut necesitatea crearii unor hieroglife pentru scrierea numerelor.
Papirusurile descoperite arata ca egiptenii, spre deosebire de greci care s-au preocupat de studiul matematicii abstracte, erau legati de rezolvarea unor probleme de aritmetica legate exclusiv de practica.
Sistemul de numeratie folosit de ei era zecimal si pozitional, dar nu in acceptia actuala. "Cifrele" folosite se obtineau prin compunerea a sapte simboluri de baza:
1 un bat de masurat
10 un val
100 sfoara de masurat
1.000 floarea de lotus
10.000 degetul aratator
100.000 o broasca
1.000.000 un zeu cu mainile ridicate deasupra capului
Scrierea se facea in ordinea crescatoare a valorii. Iata cateva exemple:
3.244 =
4 40 200 3.000
21.237 =
7 30 200 1.000 20.000 dar se putea scrie si pe verticala:
200
4.000 70
600
6
20 276 4 4.624
Deoarece se foloseau semne diferite pentru unitati, zeci, sute, mii, ..., nu are importanta ordinea scrierii. Nu era nevoie nici de simbol pentru zero.
Efectuarea unei inmultiri era destul de complicata. Sa consideram produsul 41 • 59. Construim o tabla astfel: randul 1 al doilea factor, 59, pe randurile urmatoare se scrie dublul randului precedent pana cand multiplicatorul devine mai mare ca primul factor, in cazul nostru pana la 32 < 41 < 64: multiplicator valoare multiplicator valoare
1 59 Ö 1 41 Ö
2 118 2 82 Ö
4 236 4 164
8 472 Ö 8 328 Ö
16 944 16 656 Ö
32 1.888 Ö 32 1.312 Ö
________________________________________ ________________________________________
2.419 2.419
Apoi efectuam o serie de scaderi: 41 -; 32 = 9; 9 -; 8 = 1; 1 -; 1 = 0 si scriem 41 = 32 + 8 + 1. Selectam multiplii corespunzatori si sumam.
Putem sa schimbam ordinea factorilor, 59 • 41. Avem 59 -; 32 = 27; 27 -; 16 = 11; 11 -; 8 = 3; 3 -; 2 = 1;
1 -; 1 = 0. si scriem suma multiplilor 59 = 32 + 16 + 8 + 2 + 1.
Metoda folosita se bazeaza pe teorema care spune ca orice numar poate fi scris ca o suma a puterilor lui 2. Egiptenii nu aveau o dovada in acest sens si nici nu-i interesa s-o obtina. Stiau ca metoda este buna si o aplicau. Pur si simplu! Totusi, noi ne putem permite sa scriem:
41 = 1•20 + 0•21 + 0•22 + 1•23 + 0•24 + 1•25, respectiv:
59 = 1•20 + 1•21 + 0•22 + 1•23 + 1•24 + 1•25.
Impartirea se realiza tot prin dublare. Sa luam, de exemplu, numarul 1.495 si sa-l impartim la 65. Construim un tabel ca la inmultire: multiplicator valoare
1 65 Ö
2 130 Ö
4 260 Ö
8 520
16 1.040 Ö
________________________________________
1.495 si ne oprim in momentul in care valoarea din tabel devine mai mare decat deimpartitul, adica la 1.040 < 1.495 < 2.080. Avem: 1.495 -; 1.040 = 455; 455 -; 260 = 195; 195 -;130 = 65, 65 -; 65 = 0, deci: 1.495 = 1.040 + 260 + 130 + 65.
Adunam multiplicatori corespunzatori: 1 + 2 + 4 + 16 = 23. Acesta este catul impartirii 1.495 : 65.
In exemplul de mai sus, 1.495 se divide cu 65. Cum se calculeaza in cazul in care deimpartitul nu se divide cu impartitorul? Sa consideram impartirea 1.500 : 65. Construim tabelul:
multiplicator valoare
1 65 Ö
2 130 Ö
4 260 Ö
8 520
16 1.040 Ö
________________________________________
1.495
Si de data aceasta ne oprim in momentul in care valoarea din tabel devine mai mare decat deimpartitul, adica la 1.040 < 1.500 < 2.080. Adunam valorile n pentru care avem: 1.500 -; 65 < n 1.500:
1.040 + 260 + 130 + 65 = 1.465
Diferenta 1.500 -; 1.465 = 5 reprezinta restul impartirii.
Sumam multiplicatorii corespunzatori: 1 + 2 + 4 + 16 = 23. Acesta este catul impartirii. Atunci se poate scrie:
1.500 : 65 = 23 + 5/65 = 23 1/13
Egiptenii foloseau numai fractii cu numaratorul 1, cu exceptia a doua fractii mai des folosite: 2/3 si 3/4. Iata cateva exemple:
1/3 1/25 1/269
Urmatoarea problema pe care ne-o punem este cum se efectueaza inmultirea si impartirea cu fractii. Sa luam ca impartitor fractia 1/5. Am fi tentati sa procedam ca mai sus, prin dublarea acesteia: 1/5 + 1/5. Din motive pe care nu le discutam, egiptenii, in loc sa efectueze acest calcul ar fi adunat 1/3 + 1/15. Papirusul Rhind contine o tabla care permitea dublarea unor fractii de tipul 1/n, pentru 5 < n < 101 impar, cu numaratorul 1. Iata inceputul acestei table:
Fractia de dublat Fractiile care dubleaza
1/5 1/3 + 1/15
1/7 1/4 + 1/28
1/9 1/6 + 1/18
1/11 1/6 + 1/66
1/13 1/10 + 1/26 + 1/65
1/15 1/10 + 1/30
1/17 1/12 + 1/51 + 1/68
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Este remarcabil de observat ca papirusul nu contine erori (apr cateva din copiere), ca termenii descompunerii sunt fractii cu numitori apropiati ca valoare si ca niciodata nu sunt mai multi de 4.
Cum rezolvau egiptenii ecuatia: 2/3 + 1/15 + x = 1 ?
Se multiplica cu 15: 10 + 1 + y = 15. Aceasta era numita auxiliar rosu, deoarece scribul folosea cerneala rosie la scrierea ei. Solutia ei este, evident, 4.
Pentru a obtine solutia ecuatiei initiale scriem: dublu a (dublu a 1/15)
Din tabla de mai sus observam ca dublu a 1/15 este suma 1/10 + 1/30, pe care dubland-o se obtine 1/5 + 1/15, care este solutia ecuatiei date.
Iata si o problema: O cantitate adaugata la un sfert din cantitate da 15. Cat este cantitatea ?
Problema se transcrie in limbaj modern astfel: x + x / 4 = 15
Presupunem ca x ar fi egal cu 4. Atunci x + x / 4 = 5, ceea ce nu este corect. Dar 15 este de 3 ori 5. Asa ca presupunerea trebuie multiplicata cu 3. Deci, raspunsul corect este x = 12.
Mai multe probleme din papirusul Rhind folosesc in rezolvare metoda falsei ipoteze (aplicata mai sus).
Cum procedau egiptenii pentru a rezolva calculul: (1 + 1/3 + 1/5) • (30 + 1/3) ? Foloseau metoda dublarii:
1 1 + 1/3 + 1/5
2 2 + 2/3 + 1/3 + 1/15 = 3 + 1/15 Ö
4 6 + 1/10 + 1/30 Ö
8 12 + 1/5 + 1/15 Ö
16 24 + 1/3 + 1/15 + 1/10 + 1/30 Ö
2/3 2/3 + 1/6 + 1/18 + 1/10 + 1/30
1/3 1/3 + 1/12 + 1/36 + 1/20 + 1/60 Ö
Penultima linie din tabel s-a obtinut astfel:
2/3 din 1 este 2/3;
2/3 din 1/3 este dublul lui 1/9 care este 1/6 + 1/18;
2/3 din 1/5 este dublul lui 1/15 care este 1/10 + 1/30.
Acum trebuie gasite numerele din prima coloana care insumate dau 30+1/3. Rezultatul se obtine sumand valorile din a doua coloana. Acesta este:
46 + 1/5 + 1/10 + 1/12 + 1/15 + 1/30 + 1/36.
O alta problema din papirusul Rhind: Un teren rotund are diametrul de 9 khet. Ce arie are ?
Solutia prezentata in papirus este urmatoarea:
Se afla 1/9 din diametru, adica 1; restul este 8. Inmultind 8 cu 8 ne da 64. Asa ca terenul are 64 setat.
1 9
1/9 1
1 9
2 16
4 32
8 64
De observat ca solutia este echivalenta cu p = 4(8/9)2 = 3.1605. Calculand acum, obtinem »3.160493 care difera de rezultatul obtinut de egipteni decat la a 4-a zecimala. Este un lucru remarcabil daca tinem cont de perioada in care a fost obtinut.
In papirusul din Moscova este prezentata urmatoarea problema, ilustrata in figura alaturata:
Problema cere sa se calculeze un trunchi de piramida pornind de la urmatoarele date: baza mare este un patrat cu latura de 4 cubit, baza mica este un patrat cu latura de 2 cubit si distanta dintre baze este de 6 cubit.
In primul rand trebuie remarcat ca prin sa se calculeze un trunchi de piramida se intelege sa se calculeze volumul unui trunchi de piramida. Calculul incepe cu aflarea ariei bazei mari: 4 • 4 = 16.
Se calculeaza apoi aria bazei mici: 2 • 2 = 4.
Se inmultesc latura bazei mari cu latura bazei mici: 4 • 2 = 8.
Se aduna rezultatele: 16 + 4 + 8 = 28.
Se calculeaza 1/3 din inaltime, adica: 2.
In final, se inmulteste ultimul rezultat cu suma calculata anterior si se obtine 56.
Aceasta problema arata ca egiptenii stiau formula volumului trunchiului de piramida. Astfel, luand a latura bazei mari, b latura bazei mici si h inaltimea, formula s-ar traduce in limbaj modern:
V = h/3 • (a2 + ab + b2)
Dupa inventarea scrierii pe papirus, egiptenii au creat "cifrele" hieratice. Cu ajutorul lor, numerele puteau fi scrise intr-o maniera mult mai compacta. In noua scriere existau simboluri pentru 1,.., 9; 10, ..., 90; 100, ..., 900; 1.000, ..., 9.000.
De exemplu, numarul 9.999 se scria acum cu 4 hieroglife in loc de 36.
Iata un exemplu:
Cele doua sisteme de scriere au coexistat mai bine de 2.000 de ani. Cel hieratic era folosit pentru scrierea pe papirus, cel obisnuit continuand sa se utilizeze pentru inscriptii cioplite in piatra.
_______________________________________
Ea un inger ce se roaga
El un demon ce viseaza
Ea o inima de aur
El un suflet apostat
|
|
